Kvantová Mechanika a Čísla Reálná
Kvantová mechanika se konečně podařilo formulovat pouze pomocí reálných čísel, což otevřelo novou etapu ve studiu starého matematického problému, který leží v srdci teorie.
Před sto lety podivné chování atomů a elementárních částic vedlo fyziky k vytvoření nové teorie přírody. Kvantová mechanika okamžitě triumfovala, prokazujíc svou hodnotu přesnými výpočty emisí a absorpcí světla vodíku. Ale byl tu problém: centrální rovnice teorie obsahovala imaginární číslo i, což je druhá odmocnina z -1.
Fyzici věděli, že i je matematická konstrukce. Reálné fyzikální veličiny, jako je hmotnost nebo lineární hybnost, nikdy nevytvářejí záporné hodnoty, když jsou umocněny. Přesto se toto „iracionální“ číslo, které splňuje i² = -1, zdálo být esenciální v kvantovém světě.
Poté, co vynalezl rovnici zaplněnou imaginárními čísly – zákon pohybu pro kvantové entity – Erwin Schrödinger vyjádřil naději, že by mohla být jednoho dne nahrazena zcela reálnou verzí. Přesto, ačkoli byla zamítnuta, zůstala přítomnost i a generace fyziků používaly tuto rovnici bez přílišných obav.
V roce 2021 znovu upoutal pozornost vliv imaginárních čísel v kvantové teorii. Tým výzkumníků navrhl metodu empirického určení, zda je i skutečně nezbytné pro kvantovou teorii nebo zda jde pouze o matematickou přívětivost. Dvě skupiny provedly složité experimenty a nalezly zdánlivě jasné důkazy o tom, že kvantová teorie potřebuje i.
Nicméně letošního roku řada vědeckých článků zpochybnila tento závěr. V březnu skupina teoretiků se sídlem v Německu vyvrátila studie z roku 2021, navrhujíc verzi kvantové teorie založenou výhradně na reálných číslech, která byla přesně ekvivalentní se standardní verzí. Krátce poté dva teoretici ve Francii představili svou vlastní formulaci kvantové teorie v reálných hodnotách. A v září další výzkumník dosáhl stejného výsledku v oblasti kvantového počítačství: i není striktě nutné k popsání kvantové reality.
Tato nová teorie, ač se vyhýbá explicitnímu užití imaginárního čísla, zachovává vlastnosti spojené s jeho aritmetikou. To vede některé výzkumníky k otázce, zda aspekt imaginární kvantové mechaniky, nebo dokonce sama realita, skutečně zmizel.
Jak uvádí Jill North, filozofka fyziky na Rutgersově univerzitě, „matematická formulace vede k tomu, co vyvozujeme o povaze fyzického světa“.
Imposible Hodnoty
V Amsterodamu, v roce 1637, během tulipánové horečky, se René Descartes postavil před rovnice, jejichž řešení se zdála mít nemožné hodnoty. Vzal jako příklad kubickou rovnici x³ – 6x² + 13x – 10 = 0. Descartes si povšiml, že jeho řešení „nejsou vždy reálná; někdy jsou pouze imaginární… Občas neexistuje žádné množství, které by odpovídalo tomu, co si člověk představuje“. V tomto případě jsou řešením 2, 2 – i a 2 + i. Tato poslední čísla, se skutečnou a imaginární částí, byla nazvána komplexní čísla.
Ačkoli je Descartes opovrhoval, komplexní čísla byla nakonec přijata pro svou velkou užitečnost v oblastech jako geometrie, optika či analýza signálů.
Schrödinger se zdráhal uznat, že jsou praktická v kvantové teorii. Jeho rovnice popisuje, jak se vyvíjí funkce vlny, entita, která představuje možné kvantové stavy systému a může zasahovat jako vlny. Přestože všechny fyzické měření produkují reálné hodnoty, funkce vlny je funkcí komplexních hodnot. „Kvantová teorie je skutečně první fyzikální teorií, kde se komplexní čísla objevují zcela centrálně,“ komentuje fyzik Bill Wootters.
Fundamentální Předpoklady
V roce 2021, Nicolas Gisin a jeho skupina vymysleli způsob, jak otestovat hranice teorií v reálných číslech pomocí složitější verze Bellova testu. V tomto rozšířeném testu byly dvě různé zdroje částic a tři účastníci: Alice, Bob a Charlie. Jejich výpočty ukázaly, že pro teorii založenou pouze na reálných číslech byla maximální možná korelace mezi měřeními nižší než v komplexní kvantové teorii. Tím existoval empirický důkaz, který by definitivně vyloučil teorie reálné.
Tým z Univerzity vědy a technologie v Číně provedl experiment a našel korelace mnohem vyšší než reálný limit. Vše nasvědčovalo tomu, že komplexní čísla jsou nepostradatelná.
Ale výsledek nepřesvědčil všechny. Někteří fyzici tvrdí, že komplexní čísla nejsou nic jiného než páry reálných čísel s určitými pravidly pro kombinaci. Proč by nemohlo být možné popsat kvantovou mechaniku pouze pomocí reálných čísel?
Francouzské a německé týmy navíc zpochybnily základní předpoklad článku z roku 2021: že reálná teorie by měla používat stejný tenzorový produkt jako komplexní teorie. Tento tenzorový produkt, vysvětlují, není nic jiného než zvláštní případ širší rodiny pravidel pro kombinaci vektorů. V zakřivených prostorách, například, součet čtverců pro výpočet přepony již neplatí. Analogicky lze použít různé tenzorové produkty v reálných teoriích. Pomocí těchto nových pravidel obě skupiny vybudovaly teorie v reálných číslech, které jsou zcela ekvivalentní ke standardní kvantové teorii.
Zároveň Craig Gidney, expert na kvantové počítačství ve společnosti Google, prokázal, že každý kvantový algoritmus může být napsán bez využití logické brány T, která zavádí rotace v komplexní rovině. Jeho numerický výsledek ukázal, že kvantové počítačství nepotřebuje komplexní čísla.
Proč jsou komplexní čísla tak přirozená?
Možnost teorií v reálných hodnotách klade hlubokou otázku: pokud můžeme obejít i, proč je komplexní formulace tak jednoduchá a elegantní? Schrödinger si to už před sto lety všiml: práce s komplexními vlnovými funkcemi výrazně zjednodušuje výpočty.
Pro mnohé fyziky není toto náhoda. Komplexní kvantová teorie, se svým přirozeným tenzorovým produktem, zůstává souhrnně a přímočařejší než alternativy v reálných hodnotách. I když se teorie přepisuje výhradně s reálnými čísly, její vnitřní struktura stále odráží aritmetiku komplexních čísel. Jak říká Wootters: „I ve své reálné verzi vidíte otisk komplexní aritmetiky.“
Samotní zastánci reálných teorií přiznávají, že v podstatě napodobují chování komplexních čísel, zejména jejich schopnost generovat rotace. „Simulujeme komplexní čísla pomocí reálných čísel,“ uznává Anton Trushechkin, fyzik na Univerzitě Heinrich Heine v Düsseldorfu a spoluautor německého článku.
Podle filozofky Jill North se komplexní čísla zdají zapadat obzvlášť přirozeně do kvantické struktury. Její cíl je identifikovat, jaký hluboce kvantový znak – možná spin, vlastnost bez klasického protějšku – činí tuto formulaci tak vhodnou.
Ostatní se obávají, že komplexní čísla se i nadále objevují skrytým způsobem v reálných teoriích. Pro Vlatko Vedrala z univerzity v Oxfordu to naznačuje, že jejich esence zůstává přítomna, a že jejich zdánlivý zmizení by mohlo být přehnané. Jeho aspirací by bylo najít jednodušší a intuitivnější axiomy, které by umožnily znovu postavit kvantovou teorii od základů zcela novým způsobem.
„Nemáme ani jednu alternativu, jak byla kvantová mechanika položena před sto lety,“ přemýšlí Vedral. „A otázka zní: proč? Proč nemůžeme jít dál?“
