Co jsou Dedekindovy čísla a proč trvalo 126 let objevění prvních 9?
V 19. století se Richard Dedekind, jeden z významných matematiků té doby, zabýval problémem, na který se více než sto let nenašlo žádné řešení. Dedekindova čísla, jak jsou dnes nazývána, dosud nemají obecné určení, a devátý člen této série byl objeven až nedávno.
Ve své studii, publikované v roce 1897, která v té době nezískala příliš pozornosti, se Dedekind věnoval konečným systémům přirozených čísel a jejich největším společným dělitelům. Věřil, že tyto dělitele – i když nejsou prvočísly – mohou být užitečné v některých matematických zkoumáních, a proto je hodnotné sytematizovat související zákonitosti. Dedekind byl schopen uvést pouze pět čísel z této série, která dnes nazýváme Dedekindova čísla. Mezi ně patří 0, 1, 4, 18 a 166, i když v této záležitosti si nebyl zcela jistý. Podle Dedekinda čísla rostou velmi rychle, a proto se nesnažil vytvořit obecný vzorec.
Jedním z nejilustrativnějších přístupů je založen na n-dimenzionálním kostce. Kostku postavíme na jeden z vrcholů a poté ostatní vrcholy zabarvíme na červeno nebo bílo tak, aby bílý bod nikdy nebyl nad červeným. Počítadlo „kůr“ takto vzniklých uspořádání je nutné k tomu, abychom získali Dedekindovo číslo odpovídající dané dimenzi. V nulové dimenzi máme dvě možnosti, v jedné dimenzi tři, ve dvou šesti, ve třech dvacet. Ve čtyřech dimenzích už vzniká 168 různých uspořádání, což je o dvě více než co Dedekind původně udával – rozdíl vyplývá z toho, že moderní matematika zahrnuje některé případy, které matematik považoval za triviální.
Další výklad je založen na teorii množin. Pokud vezmeme množinu o n prvcích, všechny její podmnožiny tvoří tzv. mřížku podmnožin. Dedekindovo číslo v tomto případě ukazuje, kolik takových antilejce v mřížce existuje, kde prvky nejsou uspořádány navzájem. Existuje třetí přístup, který je blíže k originální definici Dedekinda a pracuje s monotonními Booleovými funkcemi. Tyto logické funkce, kde změna vstupu z 0 na 1 nemůže způsobit změnu výstupu z 1 na 0. Počet takových funkcí v případě n proměnných je právě n-té Dedekindovo číslo.
Každý z těchto přístupů ukazuje, že čísla v této sérii rostou extrémně rychle; osmé Dedekindovo číslo má například již 23 cifer. Po dlouhá desetiletí se každé nové číslo počítalo s obtížemi. Na páté číslo se muselo čekat více než 40 let, šesté bylo nalezeno v roce 1946, sedmé v roce 1965 a osmé v roce 1991 jako výsledek 200 hodinového výpočtu na tehdejším superspočítači.
Výpočet devátého Dedekindova čísla se dlouho zdál být nemožný. I když vývoj informatiky teoreticky umožňoval jeho výpočet, úkol zůstal s moderními algoritmy extrémně složitý. Nakonec dvě nezávislé výzkumné skupiny našly řešení současně. Výzkumníci z univerzity v Paderbornu využili symetrií ve vzorci, čímž dramaticky snížili množství potřebných výpočtů a program běžel na výkonném superspočítači. Mezitím matematik Christian Jäkel z technické univerzity v Drážďanech přišel k tomu samému výsledku zcela odlišnou metodou založenou na násobení matic. Nakonec v březnu 2023 publikoval číslo o 42 cifrách, které bylo o několik dní později potvrzeno i druhým týmem.
Výpočet devátého Dedekindova čísla představuje milník, avšak výpočet desátého čísla by mohl vyvolat zcela jiné problémy. Výzkumníci se domnívají, že energetická náročnost výpočtu by se blížila celkovému výkonu Slunce a velikost výsledku by mohla konkurovat počtu atomů viditelného vesmíru. Odborníci se domnívají, že k výpočtu desátého Dedekindova čísla nedojde v blízké budoucnosti, neboť se s podobně složitými překážkami setkávali i při výpočtu Busy Beaver, což již překračuje hranice matematiky.
