Gemství abelových ploch a modulární formy: Nové objevy v teorii čísel
V roce 1994 došlo k události, která otřásla matematickou komunitou. Matematik Andrew Wiles konečně dokázal Fermatovu poslední větu, která byla více než 300 let nevyřešeným problémem v teorii čísel. Jeho důkaz vzbudil zájem nejen mezi matematiky, ale stal se i velkým tématem na titulní straně novin.
Aby dosáhl tohoto úspěchu, musel Wiles nejprve dokázat hlubší mezijednotlivé tvrzení, které mělo podstatný význam přinejmenším pro Fermatův problém. Toto mezijednotlivé tvrzení ukázalo, že důležitý typ rovnic nazývaný „eliptické křivky“ je neustále spojován s naprosto odlišným matematickým objektem, jakým jsou „modulární formy“. Wiles a jeho kolega Richard Taylor otevřeli dveře mezi různými oblastmi matematiky a ukázali, jak se tyto světy odrážejí v křivkách jeden druhého.
Odkaz mezi eliptickými křivkami a modulárními formami, nazývaný „modularita“, nebyl jen klíčem k Wilesovu důkazu Fermatovy poslední věty. Mnoho dalších matematiků tento princip využilo k řešení množství dříve neřešitelných problémů. Navíc modularita se stává základem pro ambiciózní soubor konjectur známých jako Langlandsův program, což je snaha sjednotit různé oblasti matematiky.
Skupina matematiků překvapila očekávání
Prokázání odpovídajícího vztahu mezi eliptickými křivkami a modulárními formami představovalo nesmírně obtížný úkol. Mnoho výzkumníků si myslelo, že je nemožné etablovat složitější vztahy. Avšak čtyřčlenný tým matematiků tuto představu vyvrátil. V únoru 2025 dokázali rozšířit spojení modularity na komplexnější třídu rovnic nazývanou „abelovy plochy“. Tým, složený z Franka Calegariho z Chicagské univerzity, George Boxera a Tobyho Zha z Imperial College London a Vincenta Pironny z CNRS Francie, prokázal, že všechny abelovy plochy určité hlavní třídy jsou vždy spojeny s modulárními formami.
„Věříme, že všechny tyto konjectury jsou správné, a vidět, že se to opravdu dokázalo, je velmi vzrušující,“ říká matematikyně Ana Kalaiani z Imperial College London. „A to i v případech, které se zdály být nedosažitelné.“
Nástroj ke studiu eliptických křivek
Eliptické křivky jsou základními typy rovnic, které používají pouze dvě proměnné, x a y. Když se jejich řešení nakreslí do grafu, vypadají jako prosté křivky. Nicméně vztahy mezi těmito řešeními jsou bohaté a složité a objevují se v mnoha důležitých problémech v teorii čísel. Například, těžko řešitelný problém nazývaný Birch–Swinnerton-Dyerova konjectura, na který byla vypsána odměna v hodnotě jednoho milionu dolarů, se týká vlastností řešení eliptických křivek.
Studium eliptických křivek přímo může být výzvou, a proto se matematici často rozhodují o alternativních přístupech.
Jedním z těchto přístupů jsou modulární formy, což jsou vysoce symetrické funkce, které se objevují v analytické matematice. Díky své symetrii se staly pro matematiky poměrně snadno zpracovatelným tématem.
Původně se neuvažovalo, že by tyto dvě oblasti spolu souvisely. Nicméně důkaz Taylora a Wiles ukázal, že všechny eliptické křivky odpovídají specifickým modulárním formám. Obě oblasti mají společné vlastnosti; například množina čísel v popisu řešení eliptických křivek se objevuje také v odpovídající modulární formě.
Mosty mezi světy
Počáteční výzkum skupiny byla odvaha sledovat myšlenky Langlandsova programu, s cílem prokázat existence modulární třídy abelových ploch. Na konci běhu čtyři matematici úspěšně ukázali, že tuto teorii lze aplikovat na reálné matematické objekty. „Jestliže nám podaří dokázat tuto teorii, otevřou se nám nové dveře v matematice,“ dodal Calegari.
Tým začal společnou práci v roce 2016 a pokusil se napodobit postupy, které Taylora a Wiles použili pro eliptické křivky. Každý krok však byl mnohem složitější kvůli komplexitě abelových ploch.
Proto se zaměřili na konkrétní typ abelových ploch nazvaný „normální abelovy plochy“, které byly relativně snáze ovladatelné. Všechny tyto plochy mají specifickou množinu čísel, které popisují jejich strukturu. Pokud by se takové množství podařilo odvodit i z modulární formy, mohl by být důkaz dokončen.
Tento úspěšný projekt si vyžádal více než rok a půl výzkumu a nakonec dosáhli důležitého úspěchu v průběhu konference v Bonnu, kde tým dostal příležitost sdílet své objevy přímo.
Nové teorie a budoucnost
V únoru 2025 tým zveřejnil svůj důkaz online a prokázal, že pro každou normální abelovu plochu odpovídá vždy modulární forma. Otevření této nové cesty do neprobádaných oblastí může mít sílu porovnat se s úspěchem Taylora a Wiles. Technicky nyní pracují na rozšíření tohoto výsledku na atypické abelovy plochy.
„Myslím, že za deset let budeme mít velmi dobrý obraz o všech těchto problémech,“ říká Zha. Nové výsledky také umožňují matematikům formulovat nové konjectury ze stavebních bloků, které byly dříve těžko dostupné.
