Úžasný svět matematiky: Kleinova láhev v trojrozměrném prostoru neexistuje
Před námi stojí jakási váza na stole, která by se v moderním bytě ve stylu Japandi skvěle vyjímala. „A tohle má být něco zvláštního?“, ptá se mě Karolin Breitschädel, moderátorka našeho podcastu „Příběhy z matematiky“, když jsme na univerzitě v Lipsku na Felix-Kleinových dnech. Její překvapení plně chápu – esteticky na první pohled Kleinova láhev příliš neoslní. Přesto fascinovala odborníky od svého objevu před více než 140 lety.
Abychom pochopili, o co se jedná, musíme se vrátit daleko do minulosti – do starého římského impéria, kde nacházíme první stopy trochu jednodušší geometrické formy. Je to smyčka, která zvlášť zaujala nerdovskou komunitu: Möbiusův pásek. Tento pásek lze snadno vyrobit. Stačí vzít dlouhý proužek papíru a spojit oba konce dohromady. Ale před tím, než je slepíme, otočíme jeden konec o 180 stupňů. Výsledkem je zkroucený pásek. Tato forma se v každodenním životě objevuje častěji, než byste si možná mysleli – například je možné ji vidět na odpovídajících pletených šálách v obchodech.
Z pohledu matematiky jsou Möbiusovy pásky zajímavé, protože mají pouze jednu plochu a jeden okraj. Na rozdíl od válcového objektu (což je nezkroucený pásek) nemají vnitřek a vnější stranu. Můžete bez přerušení projet prstem po povrchu Möbiusova pásku a dotknout se každého bodu na něm. Matematikové to označují jako „neorientovatelný“ povrch.
A právě zde vstupuje do hry Felix Klein: zgeneralizoval Möbiusův pásek a poprvé popsal trojrozměrný neorientovatelný povrch. Ale co je na těchto plochách tak fascinujícího?
Nekonečný pásek
Jako fyzička považuji Möbiusovy pásky za extrémně zajímavé, protože mimo jiné pomáhají lépe porozumět kvantové fyzice. V průběhu mého studia jsem se naučila o podivné kvantové vlastnosti elementárních částic, která se nazývá spin. Můžete si tento spin u elektronů představit jako malý tyčový magnet, který si částice nese se sebou. Ten může mít dva stavy. Buď je severní pól směřován nahoru, nebo dolů. To je často znázorněno šipkou.
A teď přichází překvapení: Když otočíte tento stav spinu, tedy šipku, o 360 stupňů, získáte zrcadlovou šipku. Musíte otočit stav spinu o 720 stupňů (dva plné otočky), abyste se dostali zpět do výchozího stavu. To je samozřejmě zcela intuitivně proti. A zde přichází na pomoc Möbiusův pásek. Můžete si představit, že se stav spinu pohybuje po Möbiusově pásku. Při tom musí vykonat dvě plné otočky, aby se vrátil do výchozí polohy.
Möbiusovy pásky mají mnoho dalších fascinujících vlastností. V továrnách byly používány jako dopravní pásy, protože se výrazně pomaleji opotřebovávají než nezkroucené pásky, na kterých je zatěžována pouze jedna strana. A pokud rádi tvoříte: Mohu vám jen doporučit, abyste zkusili rozříznout Möbiusův pásek podél několika různých linií – výsledky jsou úžasné.
Dvě spojené Möbiusovy pásky
Felix Klein byl také fascinován vlastnostmi Möbiusových pásek. A zamyslel se: Pokud slepíte dvě obyčejné pásky podél jejich okraje, získáte širší pásek – tedy jedna hrana obou pásek zmizí. Möbiusův pásek má však pouze jednu jedinou hranu. Co se tedy stane, když slepíte dvě Möbiusovy pásky dohromady?
V tomto případě vznikne povrch bez okraje. Výsledkem je Kleinova láhev, povrch, který stejně jako Möbiusův pásek nemá vnitřek a vnější stranu.
„Myslel jsem, že Möbiusův pásek je božský. Řekl: ‚Pokud slepíte okraje dvou, dostanete podivnou láhev, jako je ta má.‘” – Leo Moser, matematik.
Pokud jste nyní motivováni k pokusu o slepení dvou Möbiusových pásek, bohužel vás musím zklamat. Pravděpodobně se vám to nepodaří, pokud neovládáte tvoření ve čtyřech dimenzích. Protože pouze tam lze Kleinovu láhev realizovat.
Ale co bylo to objekt na stole, které moji kolegyni Karolin Breitschädelovou tak chladně nechalo? Byla to také Kleinova láhev. Ale zabudování této figury do třídimenzionálního prostoru vede k artefaktu: Na jednom místě se láhev sama protíná. Bez takového průniku není možné Kleinovu láhev v 3D implementovat. Ve čtyřdimenzionálním prostoru však toto omezení neexistuje. Je to jako když pozorujete svůj stín a vedete ruku před čelo nebo za hlavu. Ve dvourozměrném stínovém obraze to vypadá, jako by ruka zmizela v hlavě – a není možné rozeznat žádný rozdíl mezi oběma činy. Teprve třetí dimenze může rozluštit všechny geometrické informace. Tak je to také s Kleinovou láhví, jen v jedné dimenzi výše.
Speciální vlastnosti Kleinovy láhve
Po všech těch vizuálních výzvách bych vám chtěla nabídnout ještě jednodušší způsob, jak si představit Kleinovu láhev. Stejně jako Möbiusův pásek ji lze teoreticky konstruovat z rovného listu papíru. Za tímto účelem slepíte pravý a levý okraj, čímž vytvoříte běžný pásek. A pak ještě slepíte horní a dolní okraj, ale předtím provedete jako u Möbiusova pásku otočení o 180 stupňů.
Jelikož to v praxi není možné, pomůže si představit mravence, který běhá po rovném listu. Jakmile narazí na jeden ze čtyř okrajů, bude přemístěn na protější okraj. Podobně jako had v ikonické mobilní hře 2000. let, „Snake“ – starší čtenáři si vzpomenou. Abychom získali Kleinovu láhev, musíme však zrcadlit jeden protilehlý pár okrajů: pokud mravenec například projde horním levým rohem, vyjde nakonec dole vpravo.
Stejně jako Möbiusův pásek má Kleinova láhev fascinující matematické vlastnosti. Mimo jiné představuje jedinou výjimku ze Soběrově typového věty, která se týká barevného přiřazení objektům. Pokud například chcete nakreslit mapu a obarvit jednotlivé země, aniž by sousední státe měly stejné barvy, potřebujete pouze čtyři různé barvy – bez ohledu na uspořádání zemí. To uvádí čtyřbarevná věta.
Její generalizace je Soběrova věta: určuje maximální počet barev potřebných k obarvení zemí na površích různých tvarů. Jak se ukázalo, závisí to na počtu děr v površích. Například bych se mohl rozhodnout vytvořit mapu pro donutový planetu. Kolik barev bych v tomto případě maximálně potřeboval? Protože planeta má jednu díru, vyplývá z věty, že stačí maximálně sedm barev.
Soběrova věta platí pro všechny povrchy – kromě Kleinovy láhve. Tato by podle věty mohla být také obarvena maximálně sedmi barvami. Jak se však ukazuje, pro Kleinovu láhev stačí vždy šest.
Díky takovým jedinečným vlastnostem – a její neorientovatelnosti – je Kleinova láhev oblíbeným objektem matematiků. A také ve fyzice se Kleinova láhev objevuje. Může pomoci popsat složité kvantové stavy, podobně jako Möbiusův pásek ilustruje stavy spinu.
Pokud tedy máte nerdovské přátele, mohla by být Kleinova láhev skvělým vánočním dárkem. Dokonce má i praktickou funkci. Můžete ji naplnit tekutinou a použít jako vázu – nebo jako karafu na víno.
